Halaman
157Fisika SMA/MA XIBab VIDinamika RotasiSumber : Internet : www.trade center.comAdanya gaya merupakan faktor penyebab terjadinya gerak translasi. Bianglala yang berputarterjadi karena kecenderungan untuk mempertahankan keadaannya. Dalam gerak rotasi, penyebabberputarnya benda merupakan momen gaya atau torsi.
Fisika SMA/MA XI158Peta KonsepTujuan Pembelajaran :Setelah mempelajari bab ini diharapkan kalian mampu :1. menganalisis gerak rotasi dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rotasi,dan2. memahami konsep torsi, momentum sudut, momen inersia, tenaga kinetik rotasi, danmemformulasikannya berdasarkan hukum II Newton serta menerapkannya dalam masalahbenda tegar.Dinamika RotasiTorsiPusat MassaMomen Inersia dan TenagaKinetik RotasiMomentum SudutGabungan antara GerakTranslasi dan RotasiKesetimbanganterdiri atasHukum KekekalanMomentum SudutHukum Newton IIuntuk Rotasi
159Fisika SMA/MA XIPada bab ini akan dibahas tentang dinamika rotasi benda tegar. Bendategar adalah sistem yang terdiri atas banyak partikel dan jarak antarpartikeltersebut tetap. Sistem benda titik dan benda tegar berbeda. Kita akanmembahas apa yang terjadi pada benda tegar bila dikenai gaya. Bendategar memiliki sebuah titik yang disebut titik pusat massa. Gerakan pusatmassa benda tegar seperti gerakan benda titik. Momen inersia setaradengan massa pada gerak translasi. Benda yang berotasi memiliki kecepatansudut dan tenaga kinetik rotasi, sedangkan benda yang bertranslasimemiliki kecepatan linear dan tenaga kinetik translasi. Untuk mengetahuilebih lanjut tentang dinamika rotasi, maka pelajarilah materi bab inidengan saksama.A. TorsiPerhatikan pada sebuah pintu, cobabandingkan apabila kalian mendorongpintu pada ujung pintu dengan kalianmendorong pada bagian tengah pintu.Mana yang lebih mudah untuk mem-buka pintu? Kalian akan merasakan gayayang diperlukan untuk mendorongpintu agar terbuka akan lebih ringanapabila dibandingkan dengan mendo-rong di ujung pintu.Jika pada sebuah benda diberikangaya sebesar F maka benda akan me-miliki percepatan yang disebabkan olehgaya tersebut. Percepatan benda me-miliki arah yang sama dengan arah gayayang diberikan padanya. Bagaimanadengan benda yang berotasi? Bagaimanagayanya? Sebuah benda akan berotasibila dikenai torsi. Torsi sama denganSumber : PenerbitGambar 6.1 Jika kita mendorong pintu atau kitamemberi gaya pada ujung pintu, pintu akan berputar.Motivasi BelajarKata-kata Kuncitorsi, momen inersia, momentum sudut, hukum kekekalan momentumsudut, kesetimbangan, menggelinding
Fisika SMA/MA XI160Gambar 6.3 Benda dengan salah satu ujungnya berupa engsel sehingga tidak dapat bertranslasi tapi bisaberotasi. Diberi gaya dengan berbagai arah. Ditunjukkan juga skema gaya dan posisinya. (a) arah r sejajardengan arah F, (b) arah r tegak lurus dengan arah F, (c). arah r membentuk sudut T terhadap F.gaya pada gerak translasi. Torsi menunjukkan kemampuansebuah gaya untuk membuat benda melakukan gerak rotasi.Besarnya torsi tergantung pada gaya yang dikeluarkanserta jarak antara sumbu putaran dan letak gaya. Mari kitatinjau sebuah batang dengan salah satu ujungnya berupa engseltetapi masih bisa bergerak memutar. Misalnya ujung yangdipatri adalah ujung yang kita letakan di titik (0,0,0) dan ujungsatunya merupakan ujung yang bebas adalah ujung satunya.Batang kita letakan pada sumbu x.Renungkanlah hal-hal ini:xJika pada ujung yang tidak dipatri kita beri gaya yangsearah dengan arah sumbu x apa yang terjadi?xBagaimana jika batang kita beri gaya yang tegak lurusbatang apa yang terjadi?Gambar 6.2 (a) sebuah balok diberi gaya F, benda akan bertranslasi, jika balok di bagian tengah dipakusehingga balok tidak dapat bertanslasi tapi dapat berotasi, (b) bila gaya diberikan pada sudut B benda akanberotasi, dengan arah berbeda dengan (b), (c) begitu juga bila diberikan pada sudut C
161Fisika SMA/MA XIHasilnya :Jika gaya yang kita berikan sejajar dengan arah batangternyata batang tidak berotasi. Kalian dapat melihatskema pada Gambar (6.3a). Jika arah gaya tegak lurusmaka batang akan berotasi. Seperti yang ditunjukkanGambar (6.3b).xBagaimana kalau gaya membentuk sudut T yangbesarnya sembarang dengan batang?Jika gaya membentuk sudut sembarang terhadapbatang, benda akan berotasi tetapi percepatan sudutyang dihasilkan akan berbeda dengan jika sudutnyategak lurus. Hal itu ditunjukkan pada Gambar (6.3c).Perhatikanlah arah putaran akan barlawanan bila gayayang diberikan berlawanan arah.Torsi disebut juga momen gaya dan merupakan besaranvektor.Torsi adalah hasil perkalian silang antara vektor posisir dengan gaya F, dapat dituliskan.... (1)besarnya torsi adalah: .... (2)Pada batang di atas vektor r adalahvektor yang berawal di ujung batang yangdipatri dan berujung atau berarah diujung yang lainnya. Bila gaya tegak lurusmaka T = 90 sehingga nilai sin T = 1. Torsiyang dilakukan pada batang maksimal.Bila sejajar dengan , maka nilai sin T = 0sehingga besarnya torsi 0 dan batangtidak berotasi. Besar torsi dapat kitatuliskan sebagai:W = lF .... (3)dengan l r sin TLengan torsi ditunjukkan oleh l.Lengan torsi sebuah gaya didefinisikanGambar 6.4a Besarnya torsi tergantung pada besargaya dan lengan gaya. Besar lengan gaya l tergantungpada sudut antar vektro r dan F. Arah torsi ke arahsumbu y positip, besar l adalah r sin T.Gambar 6.4b Putaran tangan kananrFl
Fisika SMA/MA XI162Gambar 6.6 Pada batang dengan titik tumpu padaujung kiri batang, ada dua gaya yang bekerja padabatang.sebagai panjang garis yang ditarik di titik sumbu rotasi sampaimemotong tegak lurus garis kerja gaya. Kalian dapatmelihatnya pada Gambar (6.4a).Perhatikan dengan arah torsi, arah torsi menuruti aturanputaran tangan kanan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar(6.4b).Jika arah putaran berlawanan dengan arah jarum jammaka arah torsi ke atas, dan arah bila arah putaran searah de-ngan arah putaran jarum jam maka arah torsi ke bawah. Kitadapat melihatnya dengan sebuah sistem koordinat. Bila batangterletak pada sumbu x dan pangkal vektorr di titik (0,0,0).Gaya pada arah sumbu y positif batang akan berputar me-lawan arah jarum jam, arah torsi ke arah sumbu z positif. Se-baliknya bila arah gaya kearah sumbu y negatif, putaran batangberlawanan dengan arah jarum jam, arah torsi ke sumbu znegatif. Jika arah gaya tidak tepat pada arah sumbu y tetapimembentuk sudutT terhadap sumbu x, maka arah torsi dapatdilihat pada Gambar (6.5).Jika pada sebuah benda bekerjalebih dari satu torsi bagaimana dengangerakan benda? Jika pada benda bekerjalebih dari 1 torsi maka torsi total adalahjumlahan dari seluruh torsi yang bekerja.Pada Gambar (6.6) gaya F1 akanmenyebabkan batang berputar searahdengan jarum jam, gaya F2 akan me-nyebabkan benda berputar berlawananarah dengan arah jarum jam. Torsi totaladalah jumlah kedua torsi tersebut. .... (4)Gambar 6.5 Arah torsi untuk F berarah sembarang. Arah sumbu y positif adalah arah masuk bidang gambar.(a) torsi memiliki arah ke sumbu z positif, tetapi arah putarannya berlawanan arah dengan arah jarum jam,(b) arah torsi ke sumbu z negatif, arah putarannya searah dengan arah jarum jam.
163Fisika SMA/MA XISalah satu ujung sebuah jungkat-jungkit dinaiki anak yang beratnya 15 kg.Ujung satunya dinaiki anak yang beratnya 20 kg. Jarak masing-masinganak dari titik tumpu adalah 1 m dan 0,5 m. Berapa torsi masing masing,dan berapa torsi totalnya? Ke mana arah putaran batang ?Penyelesaian :Agar jungkat-jungkit tidak bergerak ke atas atau ke bawah maka totalgaya vertikal ke bawah harus sama dengan sama dengan gaya normalpada penumpu jungkat-jungkit.Jika kita misalkan massa 15 kg mengakibatkan torsi 1 dan massa 20 kgmenyebabkan torsi 2 maka:W1= (1 m)(15 kg)(9,8 m/det2) = 147 NmW1= (0,5 m)(20 kg)(9,8 m/det2) = 98 NmTorsi satu membuat jungkat jungkit bergerak searah arah jarum jam,torsikedua membuat jungkat-jungkit bergerak berlawanan arah jarum jam.Besar torsi total adalah :W1– W2= 147 – 98 = 49 Nm, arah putaran searah jarum jam.Pernahkah kalian melihat jungkat-jungkit di sekolah taman kanak-kanak?Jika belum, berkunjunglah ke sekolah yang mempunyai mainan jungkatjungkit. Setelah memahami proses kerja jungkat-jungkit tersebut,dapatkah kalian menerapkan pengetahuan tentang dinamika rotasi untukkepentingan lain yang dapat menghasilkan uang? Apakah yang akan kalianlakukan? Berkonsultasilah dengan orang tuamu atau gurumu!Contoh Soal 1Wawasan Kewirausahaan : Etos Kerja20 kg15 kg
Fisika SMA/MA XI16430 N10 cm4 N15 N5 N30o20 cmPerhatikan gambar di samping ini.Bagaimana kita menentukan torsi padatiap gayanya? Berapakah torsi totalnya?Menentukan torsi pada tiap gaya bilabidang dikenai gaya seperti pada gambardan bidang dapat berotasi pada sumbuyang tegak lurus bidang dan berada ditengah bidang.Torsi yang menyebabkan bendaberputar searah jarum jam kita beri tandapositip dan arah benda berlawanan arahjarum jam bertanda negatif. Mari kitalihat pengaruh tiap-tiap gaya padabidang.iGaya 4 Nr berawal dari pusat bidang berakhirdi titik sudut bidang.Lengan torsi gaya ini l1 = 5 cm= 0,05 m.Torsi yang ditimbulkanW = -(0,05 m)(4N) = -0,2 NmiGaya 30 Nr berawal dari pusat bidang ke ujungtitik sudut bidang.r searah dengan gaya maka besarnyalengan torsi 0.Sudut antara r dan gaya 0. Torsiyang diakibatkan adalah 0.I1
165Fisika SMA/MA XII = 5 cmI = 10 cmFy = F sin 30oFy = F cos 30oriGaya 5 NewtonGaya 5 N bisa kita uraikan padasumbu vertikal dan sumbumendatarFy= 5 sin 30 = (5) (0,5) N = 2,5 NFx= 5 cos 30 = (5) (0,87) = 4,3 NLengan torsi untuk Fx adalah 10 cm,torsi yang ditimbulkanW = (0,10 m) (4,3 N) = 0,43 Nm.Lengan torsi untuk Fy adalah 5 cm,torsi yang ditimbulkannyaW = -(0,05 m) (2,5N) = -0,125 Nm.iGaya 15 NArah gaya sama dengan arah rmaka torsi yang ditimbulkanadalah 0.Total torsi adalah:-0,2 Nm + 0 + 0,43 Nm - 0,125 Nm+ 0 = 0,105 Nm.Torsi total positif jadi bidangberotasi searah dengan arah jarumjam. Namun arah torsi masuk kedalam bidang.B. Pusat MassaPemukul base ball jika dilemparkeseluruhan titik akan bergerak. Adasebuah titik yang geraknya seperti gerakpartikel yaitu gerak parabola. Ujungpemukul yang mula-mula di bawah saatdipuncak gerakan ujung tersebut beradadi bagian bawah. Ujung tersebutbergerak memutar. Tapi ada titik padapemukul yang geraknya seperti gerakpartikel. Titik tersebut dinamakansebagai titik pusat massa.Jika kita memiliki sebuah sistemyang terdiri atas 2 massa, massa 1 di titikx1 dan massa 2 ditik x2. Pusat massasistem terletak di titik tengah.Gambar 6.7 (a) Pemukul base ball yang dilempar
Fisika SMA/MA XI166Gambar 6.7 (b) Sistem yang terdiri dari 2 massa, jikam1 = m2 maka pusat massa terletak di tengah-tengah. .... (5)Bila sistem terdiri atas banyak bendabermassa maka pusat massa sistemadalah: .... (6)Begitu juga komponen ke arah sumbu y dan z .... (7) .... (8)Sistem yang terdiri dari 4 massa(gambar 6.8), masing-masing:m1 pada posisi (x1, y1, z1)m2 pada posisi (x2, y2, z2)m3 pada posisi (x3, y3, z3)m4 pada posisi (x4, y4, z4)Pusat massa sistem dapat dicaridengan persamaan (6), (7), (8).Gambar 6.8 Sistem terdiri dari 4 massa
167Fisika SMA/MA XIJika sistem kita adalah sistem yang kontinu, misalkansebuah balok, di manakah titik pusat massa balok? Kita dapatmembagi menjadi bagian yang kecil-kecil yang tiap bagiannyabermassa dm. 6 akan berubah menjadi integral. Pusat massasistem adalah .... (9)Sekarang kita bisa menganggap gerak sebuah benda tegarbermassa M sebagai gerak partikel bermassa M. Pusat massabenda bergerak seperti partikel, artinya tidak mengalamirotasi. Pusat massa sistem bergerak seolah-olah seluruh massasistem dipusatkan pada titik pusat massa benda itu.Apakah benda tegar itu? Benda tegar adalah benda yangsaat bergerak jarak antartitiknya tidak berubah. Misalnyasepotong kayu padat. Jika misalnya kalian melempar suatubenda ke atas, lalu benda tadi berubah bentuk, maka bendaitu bukan benda tegar. Kita akan mempelajari rotasi padabenda tegar.Sebuah benda tegar yang memiliki kerapatan sama disemua bagian benda, titik pusat massanya terletak di tengah-tengah benda itu. Misalnya pusat massa sebuah bola terletakdi titik pusat bola dan di tengah-tengah bola. Kita bisa mencaripusat massa suatu benda dengan cara menggantungkan bendapada titik-titik yang berbeda. Misalkan benda kita berbentuksegitiga. Gantung segitiga pada titik sudut A, lalu buatlah garisvertikal dari A. Kemudian gantung pada titik B, lalu tarik garisvertikal. Garis vertikal pertama akan bertemu dengan garisvertikal yang kedua. Pusat massa benda terletak pada titikpotong kedua garis vertikal tersebut. Kita bisa melakukan halyang sama untuk benda-benda yang bentuk tidak beraturan.
Fisika SMA/MA XI168Selain titik pusat massa kitamengenal titik pusat berat. Samakah titikpusat massa dengan titik pusat berat?Titik pusat berat akan berimpit dengantitik pusat massa bila percepatan gravitasipada semua titik pada benda itu sama.Mari kita lihat gambar di samping.Tiap elemen massa dm akanmemiliki berat W =gdm. Total gaya beratbisa kita anggap berpusat pada suatu titikXG. XG kita sebut sebagai titik beratSumber : PenerbitGambar 6.9 Menentukan pusat massa suatu bendaGambar 6.10 Titik berat (gambar diambil dari Tipler)= Xg.... (10)Bila g yang bekerja pada tiap dm sama makaXG= Langkah 1 : Siapkanbenda yang akan dicaripusat massanya.Langkah 2 : Gantung bendapada salah satu titik sudutnya.Tarik garis vertikal ke bawah dariujung yang digantung.Langkah 3 : Gantung benda padatitik sudut yang lain pada benda.Tarik garis vertikal ke bawah dariujung yang digantung. Perpo-tongan dua garis tersebut adalahpusat massa benda.
169Fisika SMA/MA XI = = .... (11)sehingga titik berat maka berimpit dengan titik pusat massa.Contoh Soal 2(a) Sebuah sistem terdiri atas dua massamasing-masing bermassa 3 kg. Massa1 terletak di titik (0,0), masa kedua dititik (0,4) di manakah pusat massabenda?(b) Jika massa masing masing adalah 3 kgdan 5 kg, di manakah pusat massasistem? Pusat massa akan bergesermendekati benda yang bermassa lebihbesar.Penyelesaian :a.pusat massa terletak di tengah kedua benda tersebut atau berada pada(0; 2)b.pusat massa berada pada titik (0; 2,5)Tampak pusat massa bergeser mendekati massa yang lebih berat.
Fisika SMA/MA XI170C. Momen Inersia dan Tenaga Kinetik Rotasi1. Sistem DiskritTinjaulah sistem yang terdiri atas 2 benda. Benda A danbenda B dihubungkan dengan batang ringan yang tegardengan sebuah batang tegak yang merupakan sumbu rotasikedua benda. Kemudian kedua benda dirotasikan dengankecepatan sudut yang sama sebesar w. Benda A berjarak r1dari sumbu rotasi dan benda B berjarak r2 dari sumburotasinya. Kecepatan linear benda A adalah 1 dan kecepatanlinear benda B adalah 2. Berapakah tenaga kinetik keduabenda tersebut? Tenaga kinetik benda A adalah: .... (12)Tenaga kinetik benda B adalah: .... (13)Bila dinyatakan dengan kecepatan sudutnya denganmengingat = rZ maka tenaga kinetik kedua benda tersebutadalah: .... (14)Secara umum, persamaan (14) dapat juga kita tuliskan sebagai .... (15)dengan momen inersia atau I sebagai I = mr2 .... (16)
171Fisika SMA/MA XIPerhatikan persamaan (16) dan persamaan (12), keduapersamaan tersebut merupakan tenaga kinetik rotasi suatupartikel. Momen inersia sama dengan massa pada gerakantranslasi, demikian juga fungsinya. Kecepatan sudut keduabenda sama yaitu w tetapi besarnya tenaga kinetik rotasiberbeda disebabkan karena momen inersianya berbeda. Samahalnya dengan dua benda bergerak translasi dengan kecepatansama, tenaga kinetiknya akan berbeda sebanding denganmassanya dan satuan momem inersia adalah kg/m2.Besar momen inersia bergantung pada massanya dan jugajaraknya dari sumbu rotasi. Semakin jauh dari sumbu rotasimaka momen inersianya akan semakin besar. Pada benda Bbenda di atas manakah yang memiliki momen inersia yanglebih besar? Kedua benda bermassa sama, tetapi r2 > r1sehingga momen inersia benda B lebih besar daripada bendaA. Dengan demikian, kita bisa melihat bahwa momen inersiamenunjukkan sebaran massanya. Semakin besar jaraknyayang berarti semakin tersebar, maka momen inersianyasemakin besar.Untuk sistem dengan dua benda seperti pada gambarmaka momen inersia sistem adalah IA + IB . Bila suatu sistemterdiri atas banyak partikel maka momen inersia totalnyamerupakan jumlah momen inersia masing-masing partikel. .... (17)Pada sistem dua benda di atas momen inersia totalnya adalah:I = Gambar (6.11) benda A berjarak r1 dari sumbu dan Bberjarak r2 dari sumbu rotasi. Kedua benda massanya sama,momen inersia benda B lebih besar daripada momen inersiabenda kedua. Momen inersia total adalah jumlah antaramomen inersia A dan B.r1ABr2Gambar 6.11 Benda Adan B yang sedang be-rotasiSumbu rotasi
Fisika SMA/MA XI172Carilah momen inersia sistem dua benda seperti pada gambar di bawahbila diputar terhadap:a. sumbu x, c sumbu x sebagai sumbu rotasib. sumbu y.c. sumbu yang sejajar sumbu z, berjarak 0,5 m dari sumbu zGambar di atas merupakan sistem dengan 4 buah massa, dirotasikanterhadap sumbu x,y dan sumbu sejajar sumbu z berjarak 0,5 m darisumbu z.Penyelesaian :a. momen inersia sistem terhadap sumbu xr1 adalah jarak dari m1 ke sumbu x, r1 = 0r2 adalah jarak dari m2 ke sumbu x, r1 = 1 mr3 = 2 m dan r4 = 0 mI = (3)(0)2 + (2)(1)2 + (3)(1)2 + (2)(0)2 = 5 kgm2b. momen inersia terhadap sumbu yr1 adalah jarak dari m1 ke sumbu y, r1 = 0 mr2 adalah jarak dari m2 ke sumbu y, r1 = 0 mContoh Soal 3
173Fisika SMA/MA XIr3 = 1 m dan r4 = 1 mI = (3)(0)2 + (2)(0)2 + (3)(1)2 + (2)(1)2 = 5 kgm2c. momen inersia terhadap sumbu yang sejajar sumbu z berjarak 0,5 mdari sumbu z seperti pada gambar.r1 adalah jarak dari m1 ke sumbu rotasi, r1 = 0,5 mr2 adalah jarak dari m2 ke sumbu y, r1 = 0,5 mr3 = 0,5 m dan r4 = 0,5 mI = (3)(0,5)2 + (2)(0,5)2 + (3)(0,5)2 + (2)(0,5)2 = 2,5 kgm22. Sistem KontinuSekarang kita akan mencari momen inersia untuk sistemdengan distribusi massa kontinu. Mari kita tinjau sebuahbenda tegar misalnya sebuah batang bermassa total M. Batangtadi sebenarnya terdiri atas partikel bermassa kecil-kecil yangbila dijumlahkan semuanya berjumlah M, sehingga momeninersia batang adalah jumlah dari seluruh momen inersiapartikel bermassa.Gambar 6.12 Batang bermassa M dibagi menjadi elemen kecil-kecil bermassa dmdengan panjang dl.Kita bisa membagi batang di atas menjadi n buah elemendl. Setiap panjang dl bermassa sebesar dm. Total massa adalah6dm = M. Batang tadi memiliki kerapatan yang homogen,artinya kerapatan di setiap titik adalah sama. Misalnyakerapatan kita beri simbol O besarnya kerapatan adalah massatotal dibagi dengan panjangnya, yaitu sebesar
Fisika SMA/MA XI174 .... (18)maka bisa mencari besarnya dm sebagai .... (19)Satuan kerapatan pada masalah ini adalah satuan massapersatuan panjang atau kg/m.Berapakah momen inersia batang bila diputar dengan sumburotasi terletak di ujung batang? Mari kita lihat Gambar (6.13).Besarnya momen inersia adalah tiap elemen dm adalah: .... (20)karena sistemnya kontinu tanda ¦ kita ganti dengan integraldan m kita ganti dengan dm sehingga kita dapatkan: .... (21)Nilai r bervariasi yaitu mulai dari 0 atau r di ujung batang diposisi x = 0 sampai L atau nilai r di ujung yang lainnya. Denganmenggunakan dm pada persamaan (19) dan mengingatdl = dx karena batang terletak pada sumbu x maka:Gambar 6.13 Batang diputar terhadap sumbu yang melewati ujung batang
175Fisika SMA/MA XIGambar 6.14 Batang dirotasikan terhadap sumbu yang tegaklurus batang yang berada di tengah batang ....(22)Bagaimana kalau kita menggeser sumbu rotasi sehinggasumbu rotasi melewati bagian tengah batang seperti padagambar (6.14)? Kita masih menggunakan persamaan yangsama. Batas untuk dx bukan dari 0 sampai L tetapi dari sampai , sehingga momen inersia batang adalah: .... (23)
Fisika SMA/MA XI176Tampak bahwa momen inersia batang akan berbeda jikasumbu rotasinya berbeda. Momen inersia untuk berbagaibentuk benda tegar dapat dilihat pada tabel momen inersia.Kulit silinder terhadapsumbu yang lewat pusatsilinder.I = MR2Kulit silinder yang pan-jangnya L terhadap di-ameter yang lewat pusat.Silinder pejal terhadapsumbu.Tabel 6.1 Momen Inersia untuk Berbagai Benda pada Berbagai Sumbu RotasiSilinder pejal berjari-hari R, panjangnya L ter-hadap diameter yangmelalui pusat.Batang tipis terhadapgaris tegak lurus melaluisalah satu ujungnya.Kulit bola tipis berjari-jariR terhadap diameter-nya.
177Fisika SMA/MA XIBalok padat terhadapsumbu yang melaluipusat tegak lurus padapermukaan.Batang tipis terhadapgaris tegak lurus yangmelalui pusat.Bola pejal berjari-jari Rterhadap diameternya.D. Hukum Newton II untuk RotasiKalian tentu masih ingat bahwasebuah benda bermassa m yang mula-mula diam akan bergerak bila dikenaigaya dengan percepatan sebesar .Pada pelajaran yang lalu juga dipaparkanbahwa sebuah benda yang dikenai torsi,maka benda akan berotasi. Bila sebuahbenda berotasi tentunya dia memilikikecepatan sudut dan mungkin jugapercepatan sudut. Adakah kaitan antarapercepatan sudut dengan torsi sepertiantara dengan pada gerak linear?Coba perhatikan sebuah daun pintuyang tidak terkunci. Doronglah tepidaun pintu dengan gaya tertentu,catatlah dalam pikiran kalian berapakira-kira percepatan sudut pintu. Ulangimendorong pintu di tengah antara tepipintu dan engsel yang merupakansumbu rotasi. Doronglah dengan gayayang sama. Meskipun gaya dengantorsinya akan berbeda. Perkirakanlahpercepatan sudutnya. BandingkankahSumber : PenerbitGambar 6.15 Daun pintu diberi gaya yang besarnyasama di ujung pintu dan di tengah pintu akanmemberikan percepatan sudut yang berbeda, karenatorsi kedua gaya berbeda
Fisika SMA/MA XI178percepatan sudut kedua percobaan tadi,mana yang lebih besar?Mari kita menurunkan persamaanyang menghubungkan antara torsi danpercepatan sudut. Tinjau sebuah bendabermassa m terikat oleh kawat tipis yangkaku berada sejauh r dari titik O. Bendakemudian diberi gaya yang tegak lurusdengan (Gambar 6.16).Benda akan melakukan gerak rotasi, dengan arah lintasansama dengan arah dan mengalami percepatan linear dengan memenuhi persamaan: .... (24)Lintasan benda akan melingkar, percepatan setiap saatmemiliki arah sejajar dengan lintasan setiap saat. Supayamenjadi torsi kita kalikan persamaan di atas dengan r padakedua ruasnya, sehingga kita peroleh : .... (25)Percepatan tangensial benda sama dengan r dikalikanpercepatan sudutnya atau a = rD, sehingga persamaan (25)bisa kita tuliskan :Karena F tegak lurus vektor r maka rF bisa katakan sebagaitorsi yang dialami benda sehingga kita mendapat persamaan: .... (26)Persamaan (26) di atas adalah hukum Newton keduauntuk rotasi. Bila F menghasilkan percepatan linear maka tmenghasilkan percepatan sudut pada benda. Kalian sudahmendapatkan I adalah momen inersia, bandingkan persama-an (26 dan 24) di atas. Tampak I sama dengan massa. Massamenunjukkan kelembaman benda untuk bergerak, begitujuga momen inersia menunjukkan kelembaman benda untukberotasi. Semakin besar momen inersia suatu benda, makaGambar 6.16 Bila diberikan terus-menerus, makabenda akan berotasi terus-menerus.oZ
179Fisika SMA/MA XIdiperlukan torsi yang semakin besar untuk menggerakkannyaagar berotasi.Bagaimana jika benda yang berotasi tidak hanya sebuahtitik, tetapi sebuah benda tegar, misalnya cakram berjari-jari ryang diputar pada sumbunya. Silinder terdiri atas banyakpartikel. Misalkan torsi yang bekerja pada titik ke i adalah Wi.Tiap titik bermassa mi dan jaraknya dari sumbu rotasi adalahri . Tiap titik memiliki percepatan sudut yang sama, tetapipercepatan linear tiap titik berbeda tergantung pada jarak titiktersebut dengan sumbu rotasi. Maka total torsi yang bekerjapada silider adalah:Sebuah tali dililitkan pada katrol berjari-jari 5 cm.Massa katrol 0,5 kg. Ujung tali diberi beban bermassa2 kg. Berapa besar lengan torsi dan torsi yang dikerja-kan oleh tali? Berapa percepatan benda?Penyelesaian :Katrol adalah cakram atau silinder tipis maka momeninersia katrol adalah : kg m2Katrol akan berputar dengan sumbu putaran tegaklurus katrol dan melalui pusat massa katrol.Lengan torsi adalah jari-jari = 5 cm = 0,05 cm.F= wbeban= (2 kg)(9,8 m/det2) = 19,6 NW= lF = rF= (0,05)(19,6) = 0,98 NmW= ID0,98 = (0,0625)D,D= 15,68 rad/det2.Contoh Soal 4
Fisika SMA/MA XI180Perhatikan:Satuan percepatan sudut dalam SI adalah radian/det2.Kalian tidak dapat mencari percepatan sudut dengan cara:F = madengan F adalah berat beban, sehingga a = (mg)/m, g = (9,8) danD = = = 196 rad/det2.Percepatan yang terjadi pada contoh adalah percepatan beban bila tanpakatrol. Bila digantung pada katrol maka percepatan beban akan lebih kecil.Percepatan sudut akan terjadi atau katrol akan berputar jika berat bebandapat memutar katrol, dengan demikian tergantung pada momen inersiakatrol.Contoh Soal 5Sebuah mesin atwod ditunjukkan pada gambar disamping. Massa benda A adalah 2 kg ,massa bendaB = 4 kg. Massa katrol = 1 kg. Berapa percepatantiap benda?Penyelesaian :Mari kita lihat pada tiap-tiap benda.Pada benda 1:ABT1 – m1g = m1a1.... (a)Pada benda 2:m2g – T2 = m2a2.... (b)
181Fisika SMA/MA XIPada katrolW2 – W1= IDrT2 – rT1= IDr(T2 – T1)= ID .... (c)Percepatan benda satu samadengan percepatan benda dua ataua1= a1, sehingga:Persamaan (b) ditambah persa-maan (a) menghasilkan:T1 – T2 + (m2 – m1)g = (m1 + m2)D ....(d)Persaman (d) digabungkan denganpersamaan (c) menghasilkan :T2m2W = mgT1m1W = mgmengingat dengan memasukkan I untuk silinder tipis yaitu I = Mr2 makajadi percepatan massa 2 = massa 1 yaitu:T2
Fisika SMA/MA XI182Dari contoh 4 di atas, tegangan tali T1 tidak sama besarnyadengan T2. Besar T1 dan T2 dapat dicari dari persamaan (a)dan (b), Bila katrol bukan silinder tipis tapi misalnya silinderberongga, maka kita gunakan momen inersia untuk silinderberongga.Kita sudah mendapatkan bahwa hukum Newton II untukbenda berotasi sama dengan Hukum Newton untuk geraktranslasi. Bagaimana dengan momentumnya? Pada geraktransisi kita mengenal momentum linear dan hukumkekekalan momentum linear. Momentum sudut linear akankekal bila total gaya yang bekerja pada sistem adalah nol.Bagaimana pada gerak rotasi? Pada gerak rotasi kita akanmenemukan apa yang disebut sebagai mometum sudut.Mari kita tinjau lagi gerak benda yang berotasi di atas(Gambar 6.16). Benda akan memiliki momentum linearsebesar m. Momentum sudut didefinisikan sebagai hasilperkalian silang antara vektor r dan momentum linearnya. .... (27)Gambar 6.17 Arah putaran jari-jari adalah arah danarah ibu jari adalah arah momentu sudut L.Sekarang banyak teknologi canggih bermunculan dari negara-negara maju.Nah, setelah kalian mempelajari hukum Newton II untuk rotasi, apa yangkalian pikirkan untuk mengejar ketinggalan teknologi kita?Berkonsultasilah kepada guru kalian!E. Momentum SudutArah momentum sudut L tegaklurus dengan arah r dan arah . Arah mo-mentum sudut sesuai dengan arahputaran sekrup tangan kanan yangditunjukan Gambar (6.17). Besar mo-mentum sudut adalah: L = (r sin T) m .... (28)Wawasan Produktivitas : Daya Saingr
183Fisika SMA/MA XIBila vektor dan saling sejajar maka momentum sudutbenda adalah nol. Bila antara vektor dan saling tegaklurus maka besar momentum sudut adalah rmv. Seandainyaantara dan membentuk sudut sembarang maka besar mo-mentum sudut antara nol dan rm, tergantung pada besarsudutnya. Kita bisa melihatnya pada gambar (6.17).Gambar 6.18 Jika r sejajar p maka L=0.(b) jika r tegak lurus p maka nilai L maksimal = rmv,(c) jika antara r dan membentuk sudut θ maka L=rm sin θxr,pymzTzmypyrxrzLmy,pxMari kita tinjau sebuah partikelbermassa m yang berotasi dengan jari-jari konstan r memiliki kecepatan sudutZ. Kecepatan linear partikel adalah seperti pada Gambar (6.18) Momentumsudutnya adalah:(a)(b)(c) .... (29)Arah momentum sudutnya ke arah sumbu z positif.Besarnya momentum sudut adalah: ... (30)Tampak bahwa momentum sudut analog dengan momentumlinear pada gerak rotasi, kecepatan linear sama dengankecepatan rotasi, massa sama dengan momen inersia.
Fisika SMA/MA XI184Gambar 6.19 Arah putaran partikel berlawanandengan arah gerak jarum jam, arah momentum sudutke sumbu z positipymrzPada gerak translasi kita mengetahuibahwa gaya merupakan turunan mo-mentum linear terhadap waktu dandapat ditulis:Bagaimana kalau kita menurunkan mo-mentum sudut L terhadap waktu?Suku kedua adalah nol karena sejajar dengan dirinyasendiri sehingga perkalian silangnya adalah nol. Sekarang kitamendapatkan: .... (31) .... (32)Persamaan (32) menunjukkan kepada kita torsi analog dengangaya pada gerak linear.F. Hukum Kekekalan Momentum SudutDalam gerak linear kita telah mempelajari apabila tidakada gaya dari luar sistem maka momentum sudut total sistemadalah kekal, atau tidak berubah. Dari Persamaan (32) tampakjika torsi pada suatu sistem adalah nol maka dL =0 atauperubahan momentum sudutnya nol, atau momentumsudutnya kekal. Apabila W = 0 maka L konstan, merupakanhukum kekekalan momentum.
185Fisika SMA/MA XIContoh Soal 6Seorang penari balet berputar dengan kecepatan sudut w, momeninersianya Im. Bila dia kemudian merentangkan kedua tangannya sehinggamomen inersianya menjadi Ia, berapa kecepatan sudut penari sekarang?Kita bisa menyelesaikan dengan menggunakan hukum kekekalan mo-mentum sudut. Pada penari tidak ada gaya dari luar maka tidak ada torsidari luar, sehingga momentum sudut kekal:Penari merentangkan kedua tangannya maka momen inersianya menjadibertambah. Ia > Im maka kecepatan sudut penari menjadi berkurang.Begitu juga bila penari balet mula-mula tangannya terentang, kemudiandia merapatkan kedua tangannya. Momen inersia penari akan mengecilsehingga kecepatan sudutnya menjadi lebih besar. Kecepatan sudut bisaberubah meskipun tidak ada torsi dari luar. Tenaga kinetik rotasi penarijuga tidak konstan.Prinsip ini juga dipakai pada peloncat indah. Saat pe-loncat meninggalkan papan memiliki laju sudut Zo, terhadapsumbu horizontal yang melalui pusat massanya, sehingga diadapat memutar sebagian tubuhnya setengah lingkaran. Jikaia ingin membuat putaran 3 kali setengah putaran, maka iaharus mempercepat laju sudut sehingga menjadi 3 kalikelajuan sudut semula. Gaya yang bekerja pada peloncatberasal dari gravitasi, tetapi gaya gravitasi tidak menyumbangtorsi terhadap pusat massanya, maka berlaku kekekalan mo-mentum sudut. Agar laju sudutnya bertambah maka dia harusmemperkecil momen inersia menjadi 1/3 momen inersiamula-mula dengan cara menekuk tangan dan kakinya ke arahpusat tubuhnya.Sumber : PenerbitGambar 6.20 Peloncatindah
Fisika SMA/MA XI186Mari kita tinjau sebuah silinder yang kita beri gaya padatepinya, apa yang terjadi? Silinder akan berotasi dan jugabertranslasi. Sebelumnya mari kita lihat kapan suatu bendadikatakan melakukan gerak translasi murni dan kapanmelakukan gerak rotasi murni. Ambillah sebuah silinder,berilah gaya pada tepi silider sehingga silinder berputardengan sumbu rotasi di tengah-tengah silinder. Sedang padagerak translasi murni misalkan sebuah silinder ditarik tanpaberotasi, sehingga yang ada hanya gerak translasi saja.Bagaimana dengan kecepatannya? Benda yang melaku-kan gerak translasi murni maka semua titik bergerak dengankecepatan yang sama. Lihat gambar (6.21a). Kecepatan di titikA sama dengan kecepatan di titik P sama dengan kecepatandi titik B. Sedang pada gerak rotasi murni titik-titik yangberseberangan akan bergerak dengan kecepatan linear yangberlawanan. Kecepatan di titik A berlawanan dengan kecepatandi titik B, kecepatan di titik P adalah 0, sedang kecepatan sudutdi titik A sama dengan di titik B. Pada gerak gabungankecepatan diperoleh dengan menjumlahkan vektor-vektorkecepatannya. Kecepatan di titik A adalah 2, kecepatan dititik P adalah dan kecepatan di titik B adalah 0.G. Gabungan antara Gerak Translasi dan RotasiGambar 6.21 (a) translasi murni, (b) rotasi murni dan (c) gabunganpm = = -RZpm = 0= RZ2pm = = 0Keingintahuan : Rasa Ingin TahuCarilah artikel di media cetak atau elektronik yang membahas tentangpenerapan hukum kekekalan momentum sudut. Apakah penerapanhukum tersebut sudah maksimum? Kupaslah dan hasilnya diserahkankepada guru kalian.(a) (b) (c)
187Fisika SMA/MA XIGerak gabungan antara gerak translasi dan gerak rotasidisebut sebagai mengelinding. Di bagian depan kita meninjausebuah partikel yang bergerak berotasi memiliki tenaga kinetiksebesar K = IZ2. Bila yang berotasi adalah benda tegar makakita gunakan momen inersia benda yang bersangkutan.Untuk benda yang menggelinding maka tenaga kinetiknyaadalah hasil penjumlahan antara tenaga kinetik translasi dantenaga kinetik rotasi.K = M2 + IZ2Contoh Soal 7Silinder padat memiliki massa 1,5 kg dan jari-jarinya 8,5 cm,menggelinding pada lantai dengan kecepatan 15 cm/detik.a. Berapakah kecepatan di bagian atas silinder?b. Berapa kecepatan sudut silinder?c. Berapakah tenaga kinetik rotasi silinder?Penyelesaian :Diketahui :massa silinder M = 1,5 kgjari-jari R= 8,5 cmlaju silinder = 15 cm/detDitanyakan :a.puncak= ?b.Z= ?c.K = ?Jawab :a. Kecepatan sudut di puncak silinder:puncak=2 pm= 2 . 15 cm/det= 30 cm/detb. Kelajuan sudut silinder:Z= = = 1,8 rad/detc. Tenaga kinetik silinder:K=M2 + IZ2
Fisika SMA/MA XI188= Mpm2 + =Mpm2= (1,5) (0,15)2= 0,024 JContoh Soal 8Sebuah bola bowling memiliki jari-jari 10 cm, dan massanya 7 kg mula-mula dia di puncak bidang miring kemudian menggelinding menurunipapan yang terletak miring dengan sudut kemiringan 34o. Panjang papan2 m. Berapakah kecepatan bola saat sampai di bawah?Penyelesaian :Bola mengelinding sejauh L atau ketinggian L sin 34o. Energi yang dimilikibola bowling pada keadaan awal adalah energi potensial gravitasi sajakarena benda mula-mula diam. Setelah menggelinding sampai di bawahenergi potensial bola menjadi nol dan seluruh tenaganya menjadi energikinetik. Dengan menggunakan hukum kekekalan tenaga mekanik maka:Mgh= M2 +IZ2MgL sin 34= Mpm2 + IZ2MgL sin 34= Mpm2 +
189Fisika SMA/MA XIKita dapat menghitung kelajuan bola sebagaipm=pm== 4 m/detContoh Soal 9Sebuah kulit silinder, sebuah silinder padat, dan sebuah bola padat yangbermassa dan berjari-jari sama yaitu R menggelinding pada papan seperticontoh soal di atas.a. Manakah yang mencapai tanah paling awal?b. Berapa kelajuan tiap benda?Penyelesaian :a. Berdasarkan rumus tenaga kinetik untuk benda menggelinding,benda yang memiliki momen inersia besar akan memiliki tenagakinetik rotasi yang semakin besar. Ketiga benda tersebut menurunbidang miring maka saat di bawah tenaga kinetik total yang dimilikiketiga benda sama yaitu sebesar tenaga potensial saat di puncak bidangmiring. Tenaga kinetik rotasi bola paling kecil maka tenaga kinetiktranslasi bola paling besar sehingga akan sampai di bawah lebih dulukemudian diikuti silinder padat, dan kemudian kulit silinder.b. Persamaan tenaga untuk ketiga benda adalah:Mgh= M2 +IZ2Mgh= Mpm2 +I
Fisika SMA/MA XI190Mgh= Mpm2 +pm= Tampak jika momen inersia benda besar maka kecepatan linear bendasaat di bawah akan semakin kecil. Momen inersia bola adalah 2/5 MR2,momen inersia silinder =½ MR2, dan momen inersia kulit silinder adalahMR2. Kelajuan bola saat di bawah paling besar dan kelajuan kulit silinderpaling kecil.Contoh Soal 10Sebuah silinder padat bermassa M dan berjari-jari R menggelinding padasebuah bidang miring dengan sudut kemiringan T. Berapa percepatansilinder?Penyelesaian :Perhatikan gambar! Agar silinder menggelinding tanpa selip digunakangesekan statis.Saat benda dipercepat menurunibidang miring, kecepatan sudutharus bertambah agar bendamenggelinding tanpa selip.Pertambahan kecepatan sudutdisebabkan torsi yang dikerjakangaya gesekan, dengan kata lain torsimenyebabkan terjadinya perce-patan sudut sehingga dapat kitatuliskan:W ,DTorsi ditimbulkan oleh gaya gesek kinetis, dan silinder berotasi terhadapsumbu yang melalui pusat massa. Pusat massa silinder, gaya gravitasi,dan gaya normal tidak menimbulkan torsi karena keduanya bekerja melaluipusat massa sehingga torsinya 0.
191Fisika SMA/MA XIfR = IpmD.... (a)Kita tinjau gerak translasi silinder, komponen gaya gravitasi dan gaya gesekmenimbulkan pusat massa silinder mengalami percepatan apm sebagaimg sinT - f = mapm .... (b)Dengan memasukkan persamaan (a) ke persamaan (b) kita dapatkan :Dengan menggunakan momen inersia silinder yang berotasi dengansumbu sejajar panjang silinder dan lewat pusat massa adalah I = MR2kita dapatkan :Soal LatihanSoal seperti contoh 10, denganmengganti silinder dengan bola,kulitbola, kulit silinder, dan silinder berongga.Benda apa yang paling dulu sampai dibawah? (benda yang memiliki perce-patan pusat massa terbesar)
Fisika SMA/MA XI192H. KesetimbanganMari kita lihat benda yang bergerak dengan kecepatankonstan dan berotasi dengan kecepatan sudut konstan. Bendayang bergerak dengan kecepatan konstan memiliki momen-tum linear konstan. Artinya tidak ada gaya total yang bekerjapada benda itu atau total gaya bernilai nol. Apabila bendabergerak dengan kecepatan sudut konstan maka momentumsudut benda konstan, kita bisa segera berpendapat torsi totalpada benda itu adalah nol. Bila gaya dan torsi pada benda nol,maka benda tidak akan mengalami perubahan gerak maupunrotasi atau kita katakan benda dalam kesetimbangan. Kita akanmembahas kesetimbangan statis, jadi mula-mula benda diamdan tetap diam.1. Kesetimbangan StatisAmbillah sebuah papan dan letakkan di atas tumpukanbatu bata. Kemudian berikan gaya yang sama pada kedua sisipapan dengan arah berlawanan. Apa yang terjadi? Sekarangkita ubah letak gaya. Tekan papan ke arah bawah pada salahsatu sisi dan dorong papan pada sisi yang lain usahakan bagianpapan di atas tumpukan batu bata tidak bergeser. Apa yangterjadi? Skema yang kalian lakukan seperti pada gambar dibawah ini.Gambar 6.22 a) Papan diberi 2 gaya yang sama F1 = F2, kedua gaya segarisb) Papan diberi 2 gaya yang sama tapi tidak segaris, ¦F = 0, tapi papan berotasi.F1NMgF2F1F2(a)(b)pppppppppppppppnnnnn
193Fisika SMA/MA XIDari Gambar 6.22a kita melihat jika memberikan 2 gayayang sama besar tetapi berlawanan arah pada benda-bendatidak akan bergeser atau tidak akan melakukan translasi,karena total gaya adalah nol. Benda akan diam. Bisakah kitamengatakan bila total gaya bernilai nol benda berada dalamkesetimbangan? Gambar (6.22b) menunjukkan 2 gaya yangberlawanan dan sama besar tetapi memiliki garis gaya yangberbeda, benda ternyata bergerak dengan gerakan rotasi. Agarbenda tidak berotasi maka torsi pada benda harus sama dengannol. Sekarang kita dapat menyimpulkan benda berada dalamkeadaan setimbang jika: Total gaya = 0 = 0.... (33) Total torsi = 0 = 0 .... (34)Jadi syarat kesetimbangan adalah total gaya sama dengannol dan total torsi sama dengan nol. Jika benda mula-muladiam, kemudian kita beri gaya dan torsi yang setimbang, makabenda akan tetap diam atau terjadi kesetimbangan statis.KopelKopel adalah pasangan gaya yang sama besar danberlawanan arah.Tinjau sebuah batang yang diberigaya seperti pada gambar (6.23). Kitatidak bisa menggantikan kedua gayadengan sebuah gaya yang akan mem-berikan efek yang sama dengan keduagaya.Jumlah kedua gaya tersebut samadengan nol, tapi kedua gaya tersebutmenyebabkan terjadinya rotasi. Torsiyang dihasilkan oleh kedua gaya tersebutterhadap titik O adalah : .... (35)Gambar 6.23 Dua gaya yang sama besar danberlawanan arah tetapi memiliki titik tangkap yangberbeda disebut kopel.x2x1DOF1F1 = F2 = FF2
Fisika SMA/MA XI194F1 akan menyebabkan batang berotasi searah jarum jamsedangkan F2 menyebabkan batang berotasi berlawanandengan arah jarum jam.2. Jenis KesetimbanganKesetimbangan bisa kita golongkan menjadi tiga, yaitukesetimbangan stabil, kesetimbangan tak stabil, dan kesetim-bangan netral. Suatu benda dikatakan pada kesetimbanganstabil jika misalkan pada benda kita beri sedikit gaya, akanmuncul gaya pemulih sehingga benda akan kembali ke posisi.Contohnya sebuah balok seperti pada Gambar (6.12) danbenda yang berada dalam lubang yang melingkar seperti padaGambar (6.23b). Bila balok pada Gambar (6.23) kita rotasikansedikit, gaya beratnya akan berusaha mengembalikan bendake posisi semula.Kesetimbangan tak stabil contohnya adalah pada Gambar(6.24) Jika kita beri torsi sedikit akan muncul gaya torsi yangmemaksa benda menjauhi posisi semula. Misalkan pada balokpada Gambar (6.24) gaya beratnya akan membuat balokmenjadi terguling. Tampak pada kesetimbangan stabil bendaakan selalu kembali keposisi semula, atau titik beratnyakembali pada posisi semula. Sedang pada kesetimbagan takstabil posisi titik berat berubah, bergeser ke titik yang lebihrendah.Kita bisa memperbaiki kesetimbangan benda denganberusaha memindahkan titik berat menjadi lebih rendah.Gambar 6.24 Contoh kesetimbangan stabil.(a)(b)
195Fisika SMA/MA XIKesetimbangan netral terjadi jika titik berat benda tidakberubah jika bergerak. Contohnya sebuah silinder yang kitadorong sedikit, maka tidak ada torsi ataugaya yang memaksanya kembali ataumenjauhi posisi semula.Jika kalian melihat sirkus, orangyang berjalan di atas tali tambang akanmerentangkan kedua tangannya. Diaberusaha mempertahankan kesetim-bangannya. Orang yang berjalan tegakmengalami kesulitan untuk memperta-hankan kesetimbangannya karena pusatberat harus dipertahankan di atas dasarpenopang. Lain halnya dengan hewanberkaki empat yang berjalan dengankeempat kakinya. Hewan tersebutmemiliki titik berat yang lebih rendahdan dasar penopangnya lebih besar.Gambar 6.25 (a) Contoh benda dengan kesetim-bangan stabil, (b) Contoh benda dengan kesetim-bangan tak stabilContoh Soal 11Sebuah beban bermassa 7 kg dipegang oleh tangandengan lengan bawah membentuk sudut 90oterhadap lengan atas. Otot bisep mengerjakan gayaFm yang berada 3,4 cm dari titik O di sendi siku.Bila berat lengan dan tangan kita abaikan. Berapabesar gaya yang dikerahkan lengan atas Fm?Penyelesaian :Bila kita gunakan O sebagai titik tumpu putaran, atau pusat rotasi makapersamaan torsi untuk lengan adalah:Kesetimbangan statis akan terjadi jika torsi total sama dengan nol dantotal gaya sama dengan nol. Agar total gaya bernilai nol, maka harus adaFm(b)
Fisika SMA/MA XI196gaya ke atas sebesar 605,3 – 68,6 = 536,7 N. Agar tidak ada torsi tambahanmaka gaya ini harus lewat O, gaya ini dikerahkan oleh lengan atas padasiku.Sebuah benda bermassa 10 kg digantungkan pada ujung papan yangpanjangnya 2 m bermassa 5 kg, Sebuah kawat dikaitkan pada ujunggambar dan di dinding setinggi 1 m seperti pada gambar. Carilahtegangan kawat dan gaya yang dikerjakan oleh dinding pada tongkat dititik O.Agar tercapai kesetimbangan statis: = 0 = 0Fx – Tx = 0danFy + Ty – wb – wp = 0Fx = TxFx + Tx – 100 – 50 = 0 = 02.100 + 1.50 – 2Ty = 02Ty= 150Ty= 75maka kita bisa mencari FxFx= – Tx+ 100 + 50Fx= –75 + 150= 75 Nantara Tx dan Ty memiliki kaitanContoh Soal 122 mwbwby1 mFyTxFWpTTyTx
197Fisika SMA/MA XImaka besar Tx= – 2Ty= –150 N, dan besarFx = Tx= 150 NRingkasan1. TorsiSebuah partikel yang dikenai gayaakan mengalami gerak translasitanpa rotasi.Suatu benda tegar dikenai gayadapat bergerak translasi ataupunrotasi atau keduanya.Benda tegar adalah benda yang jarakantartitik-titik pada benda tidakberubah.Torsi didefinisikan sebagai hasil kaligaya dengan lengan torsi.Besar torsi:W = rF sin Tdengan T = sudut apit antara dan. Lengan torsi sebuah gaya di-definisikan sebagai panjang garisyang ditarik di titik sumbu rotasisampai memotong tegak lurus gariskerja gaya. Benda yang mendapattorsi akan berotasi.2. Pusat massa dan pusat gayaPosisi pusat massa suatu sistempartikel didefinisikan sebagai:Pusat massa sistem bergerak sepertisebuah partikel yang memilikimassa sama dengan massa sistempartikel.Posisi pusat massa sama denganposisi pusat gaya bila percepatangravitasi pada seluruh titik bendategar sama.3. Momen inersia dan tenaga kinetikrotasiTenaga kinetik partikel yangbermassa m yang berotasi dengankelajuan sudut Z adalah:Momen inersia sebuah partikelbermassa m yang berjarak r darisumbu rotasi :Tenaga kinetik benda tegar yangberotasi adalah :dengan I adalah momen inersiasistem benda:Momen inersia analog denganmassa dalam gerak translasi.
Fisika SMA/MA XI1984. Hukum kedua Newton untuk rotasiHukum kedua Newton untuk rotasibenda tegar melalui sumbu tetapadalah:W = ID5. Momentum sudutMomentum sudut didefinisikansebagai hasil perkalian silang antaravektor r dan momentum linearnya.Besar momentum sudut sistempartikel dengan kelajuan w adalah:L = rm = rm (rZ) = IZHukum Newton dalam bentuk mo-mentum untuk gerak rotasi adalah:6. Hukum kekekalan momentumJika torsi total yang bekerja padasistem partikel adalah nol makamomentum sudut partikel kekal7. Pada gerak gabungan antara gerakrotasi dan translasi. Tenaga kinetiksistem partikel yang berotasisekaligus bertranslasi adalah:Uji KompetensiKerjakan di buku tugas kalian!A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberitanda silang (X) pada huruf A, B, C, D, atau E!1. Tiga buah partikel dengan massa m, 2m, 3m dipasangpada ujung kerangka yang massanya diabaikan. Sistemterletak pada bidang xy. Jika sistem diputar terhadapsumbu y, maka momen inersia sistem adalah ....A. 5 maB. 7 maC. 5 ma2D. 6 ma2E. 7 ma2
199Fisika SMA/MA XI2. Dari keadaan diam, benda tegar melakukan gerak rotasidengan percepatan sudut 15 rad/det2. Titik A berada padabenda tersebut, berjarak 10 cm dari sumbu putar. Tepatsetelah benda berotasi selama 0,4 detik, A mengalamipercepatan total sebesar ....A. 1,5 m/detB. 2,1 m/detC. 3,6 m/detD. 3,9 m/detE. 5,1 m/det3. Sebuah benda bermassa m diikat pada seutas talikemudian diputar secara horisontal dengan kecepatansudut Z. Panjang tali l meter. Momentum sudut yangdialami benda tersebut sebesar ....A.l mZB.l 2mC.l m2D.l mZ2E.l m2Z4. Benda A bermassa m diikat dengan tali yang panjangnyal m. Benda B memiliki massa 3m diikat dengan talidengan panjang sama dengan benda A. Bila A dan Bdiputar dengan kecepatan sudut yang sama maka besarmomentum sudut B ....A. 3 kali momentum sudut AB. kali momentum sudut AC. 9 kali momentum sudut AD. kali momentum sudut AE. kali momentum sudut A
Fisika SMA/MA XI2005. Seorang penari balet berputar dengan kecepatan sudut wmemiliki momen inersia sebesar I. Agar penari tersebutbergerak dengan kecepatan sudut yang lebih besar yangharus dilakukan penari tersebut adalah ....A. meregangkan lengannya agar momen inersianya lebihbesarB. menekuk kedua lengannya agar momen inersianyamenjadi lebih besarC. meregangkan kedua lengannya agar momeninersianya menjadi lebih kecilD. menekuk kedua lengannya agar momen inersianyamenjadi lebih kecilE. menekuk kedua kakinya agar lebih pendek6. Sebuah kulit silinder berjari-jari R bermassa M memilikimomen inersia sebesar MR2 kg/m2, bergerak dengankecepatan sudut Z. Agar kulit silinder tersebut berhentiberputar dalam waktu 2 detik, maka torsi yang harusdikenakan pada silinder sebesar ....A.MR2Z NB. NC.MR2ZNmD.2M2RZ NmE. Nm7. Sebuah kulit silinder berjari jari R meter bermassa M kgmemiliki momen inersia sebesar MR2 kgm2, bergerakdengan kecepatan sudut Z. Agar kulit silinder tersebutberhenti berputar dalam waktu 2 detik, maka usaha luaryang harus dikenakan pada silinder sebesar ....A. MZ2 JD. MRZ2 JB. MR2Z2 JE.MR2Z JC.MR2Z2 J
201Fisika SMA/MA XI8. Bila torsi yang bekerja pada suatu benda adalah sebesar 0,maka ....A. kecepatan sudutnya kekalB. momentum sudutnya kekalC. momentum sudutnya juga nol,D. kecepatan sudutnya juga nolE. momentum sudut dan kecepatan sudutnya nol9. Seorang penari balet berputar 3 putaran per detik dengankedua lengannya direntangkan. Pada saat itu momeninersia penari 8 kg/m2. Kemudian kedua lengannya di-rapatkan sehingga momen inersianya menjadi 2 kgm2.Frekuensi putaran sekarang menjadi ....A. 10 putaran per detikB. 12 putaran per detikC. 16 putaran per detikD. 24 putaran per detikE. 48 putaran per detik10. Usaha yang dilakukan selama 90 putaran oleh gaya 20 Nbekerja pada roda berjari-jari 20 cm adalah ....A. 90 nJB. 180 JC. 360 nJD. 720 JE. 1440 nJB. Kerjakan soal berikut ini dengan benar!1. Sebuah tali dililitkan mengelilingi sebuah silinder 3 kgyang berjari-jari 10 cm yang bebas berputar mengelilingisumbunya. Tali ditarik dengan gaya 15 N. Silinder semuladiam saat t = 0.a. Carilah torsi yang dikerjakan oleh tali dan percepatansudut silinder.b. Carilah kecepatan sudut silinder pada saat t = 4 det.
Fisika SMA/MA XI2022. Tiga buah massa masing-masing bermassa 2 kg yangdiletakkan pada sumbu x di x = 0, x = 0,2 dan x = 0,5.Carilah pusat massa sistem itu!3. Tiga buah benda masing-masing bermassa 2 kg ditempat-kan pada titik-titik: x = 10 cm,y = 0; x = 0, y = 10 cm; x= 10 cm,y = 10 cm. Carilah letak pusat massa ketiga bendatersebut!4. Empat buah partikel seperti pada gambardi samping yang dihubungkan dengankawat tak bermassa.a. Carilah momen inersia sistem jikadiputar terhadap sumbu z!b. Tenaga kinetik sistem jika diputarterhadap sumbu z adalah 184 J. Berapaputaran yang terjadi tiap menit?5. Empat buah partikel terletak seperti padagambar di samping. Partikel dihubungkanoleh kawat yang tidak bermassa.a. Hitunglah momen inersia sistem yangdiputar terhadap sumbu z!b. Hitunglah momen inersia sistem yangdiputar terhadap sumbu y!c. Berapa kerja yang dibutuhkan untukmenghasilkan rotasi 2 rad/s terhadapsumbu z jika mula-mula sistem diam?6. Sebuah bola pada bermassa 1,2 kg memiliki diameter18 cm berputar terhadap diameternya dengan laju90 putaran tiap detik.a. Berapakah energi kinetik rotasinya?b. Bila kemudian ditambahkan energi sebanyak 2 J padasistem, berapakah kelajuan sudutnya yang baru?
203Fisika SMA/MA XI7. Carilah momen inersia sebuah cakram berjari-jari Rterhadap sumbu di bidang cakram yang melewatipusatnya massanya!8. Sebuah partikel bermassa 3 kg bergerak dengan kelajuankonstan 4 m/s dengan lintasan berupa lingkaran berjari-jari 5 m.a. Berapakah momentum sudutnya terhadap pusatlingkaran?b. Carilah momen inersianya terhadap sumbu yanglewat pusat lingkaran dan tegak lurus bidanggeraknya!c. Berapa kelajuan sistem partikel?9. Sebuah partikel bergerak dengan lintasan berupalingkaran.a. Jika momentum linearnya p menjadi dua kali besarmomentum semula, bagaimana pengaruhnya ter-hadap momentum sudutnya?b. Jika jari-jari lingkaran dijadikan dua kali jari-jarisemula tetapi kelajuannya tidak berubah, bagaimanapengaruhnya terhadap momentum sudut partikel?10. Sebuah silinder homogen berjari-jari 15 cm memilikimassa 45 kg menggelinding tanpa selip sepanjang lantaihorisontal dengan kelajuan 6 m/s. Berapa kerja yangdibutuhkan untuk menghentikan silinder ini?11. Sebuah bola menggelinding tanpa selip menuruni sebuahbidang miring dengan sudut T.a. Carilah percepatan bola!b. Carilah gaya gesekan!c. Sudut maksimum bidang miring agar bola meng-gelinding tanpa selip. Nyatakan dalam koefisiengesekan ms!
Fisika SMA/MA XI204Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian mampu memahamitentang :1. torsi,2. pusat massa,3. momen inersia dan tenaga kinetik rotasi,4. hukum Newton II untuk rotasi,5. momentum sudut,6. hukum kekekalan momentum sudut,7. gabungan gerak translasi dan rotasi, dan8. kesetimbangan.Apabila kalian belum memahami isi materi pada bab ini, pelajari kembalisebelum melanjutkan ke bab berikutnya.Refleksi